Sensoreamento e controle

Anderson M. Amaral

Aula 6 - Carga e descarga de um capacitor

Resposta transiente: circuito RC

  • Ao aplicar uma tensão num circuito, nem todos os pontos respondem instantaneamente
  • Exemplo: circuito RC

Descrição matemática

  • Tensão aplicada: \(V_S\)
  • Tensão no capacitor: \(q=Cv\)
  • Tensão no resistor: \(v_S-v = R i\)
  • A carga armazenada no capacitor depende de \(i\)!
  • A solução matemática depende de uma equação diferencial. \(v\) é dado por exponenciais

O que acontece quando \(V_S\) liga abruptamente?

  • \(v = V_S \left(1- e^{-t/RC}\right)\)
  • A demonstração matemática deste resultado pode ser encontrada nos slides mais adiante

Curva de carga de um capacitor

O que acontece quando \(V_S\) desliga abruptamente?

  • \(v = V_S \left(e^{-t/RC}\right)\)
  • A demonstração matemática deste resultado pode ser encontrada nos slides mais adiante

Demonstração: montando uma equação diferencial

  • Temos que \(q=Cv\) e \(\frac{v_S-v}{R} = i\)
  • Lembrando, \(i\) indica quanta carga flui pelo fio por unidade de tempo (C/s), podemos usar que \(i=\frac{dq}{dt}\)
  • Daí, \(q = Cv\), ou \(\frac{dq}{dt} = i = C\frac{dv}{dt}\)
  • Então, \(\frac{v_S-v}{R}=C\frac{dv}{dt}\), ou passando \(v\) para um mesmo lado da eq.,
  • \[RC\frac{dv}{dt} + v = V_S\]
  • Agora só precisamos resolver a equação diferencial

Solução homogênea (\(V_S=0\))

\[RC\frac{dv}{dt} + v = V_S\]

  • A solução mais simples para a Eq. Dif. ocorre quanto \(V_S=0\)
  • Note então que \(RC\frac{dv}{dt} + v = 0\), ou \(\frac{dv}{dt} =-\frac{1}{RC}v\).
  • Que função é proporcional a sua derivada?
  • \(v\) é uma função tipo exponencial! Podemos verificar de maneira mais rigorosa, caso façamos a integração
  • \(\frac{dv}{v}=-\frac{dt}{RC}\) -> Integrando o tempo de \(0\) a \(t\), temos
  • \(\log{\frac{v}{v_0}}=-\frac{t}{RC}\), ou então \(v = v_0 e^{-t/RC}\)
  • \(\tau = RC\) é conhecido como o tempo de carga/descarga do capacitor, ou tempo característico do circuito
  • Notar que \(\lim_{t\rightarrow\infty} v =0\).

Solução inhomogenea (\(V_S\neq 0\))

\[RC\frac{dv}{dt} + v = V_S\]

  • Supor \(v = v_0 e^{-t/RC} + v_1\)
  • \(\frac{dv}{dt} = -\frac{v_0}{RC} e^{-t/RC}\)
  • \(RC\frac{dv}{dt} + v = -RC\frac{v_0}{RC} e^{-t/RC} + v_0 e^{-t/RC} + v_1 = V_S\)
  • \(v_1 = V_S\) é solução
  • \(v = v_0 e^{-t/RC} + v_S\)

O que acontece quando \(V_S\) liga abruptamente?

  • \(v = v_0 e^{-t/RC} + v_S\) é tal que \(v(0)=0\)
  • \(0 = v_0 e^0 + v_S\), ou \(v_0 = - v_S\)
  • Finalmente, \[v = V_S \left(1- e^{-t/RC}\right)\]

Curva de carga de um capacitor

O que acontece quando \(V_S\) desliga abruptamente?

  • Supondo que a fonte de tensão \(v_S\) está ligada a muito tempo, e é desligada em \(t=0\), quem são \(v(t=0^-)\) e \(v(t\rightarrow\infty)\)?
  • \(v = a e^{-t/RC} + b\) é tal que \(v(0)=v_S\) e \(v(\infty)=0\)
  • \(v_S = a + b\), e \(0 = b\)
  • Finalmente, \[v = V_S \left(e^{-t/RC}\right)\]

Análise intuitiva

  • Podemos analisar o que ocorre com o circuito RC em tempos curtos e longos.
  • \(v = a e^{-t/RC} + b\)
  • \(t \leq 0\)
    • \(v_0 = a + b\)
  • \(t \gg RC\)
    • \(v_\infty = b\)
  • \(v = v_0 e^{-t/RC} + v_\infty (1-e^{-t/RC})\)