Introdução

• Até o momento não falamos muito a respeito do comportamento dinâmico dos circuitos
• No entanto, o tempo está presente em tudo o que fazemos
• O circuito mais simples em que podemos analisar detalhadamente seu comportamento é o circuito RC (Resistor-Capacitor)

Circuito RC

Descrição matemática

Circuito RC

• Tensão aplicada: $V_S$
• Tensão no Capacitor: $q=Cv$
• Tensão no resistor: $v_S-v = R i$
• Problema: Como encontrar $v$, se $V_S$ varia no tempo?

Solução: montar uma equação diferencial

• Temos que $q=Cv$ e $\frac{v_S-v}{R} = i$
• Lembrando, $i$ indica quanta carga flui pelo fio por unidade de tempo (C/s), podemos usar que $i=\frac{dq}{dt}$
• Daí, $q = Cv$, ou $\frac{dq}{dt} = i = C\frac{dv}{dt}$
• Então, $\frac{v_S-v}{R}=C\frac{dv}{dt}$, ou passando $v$ para um mesmo lado da eq.,
• $$RC\frac{dv}{dt} + v = V_S$$
• Agora só precisamos resolver a equação diferencial

Solução homogênea ($V_S=0$)

$$RC\frac{dv}{dt} + v = V_S$$

• A solução mais simples para a Eq. Dif. ocorre quanto $V_S=0$
• Note então que $RC\frac{dv}{dt} + v = 0$, ou $\frac{dv}{dt} =-\frac{1}{RC}v$.
• Que função é proporcional a sua derivada?
• $v$ é uma função tipo exponencial! Podemos verificar de maneira mais rigorosa, caso façamos a integração
• $\frac{dv}{v}=-\frac{dt}{RC}$ -> Integrando o tempo de $0$ a $t$, temos
• $\log{\frac{v}{v_0}}=-\frac{t}{RC}$, ou então $v = v_0 e^{-t/RC}$
• $\tau = RC$ é conhecido como o tempo de carga/descarga do capacitor
• Notar que $\lim_{t\rightarrow\infty} v =0$.

Solução inhomogenea ($V_S\neq 0$)

$$RC\frac{dv}{dt} + v = V_S$$

• Supor $v = v_0 e^{-t/RC} + v_1$
• $\frac{dv}{dt} = -\frac{v_0}{RC} e^{-t/RC}$
• $RC\frac{dv}{dt} + v = -RC\frac{v_0}{RC} e^{-t/RC} + v_0 e^{-t/RC} + v_1 = V_S$
• $v_1 = V_S$ é solução
• $v = v_0 e^{-t/RC} + v_S$

O que acontece quando $V_S$ liga abruptamente?

• $v = v_0 e^{-t/RC} + v_S$ é tal que $v(0)=0$
• $0 = v_0 e^0 + v_S$, ou $v_0 = - v_S$
• Finalmente, $$v = V_S \left(1- e^{-t/RC}\right)$$

Curva de carga de um capacitor

Gerenciando melhor o tempo do arduino

• Até aqui, quando queriamos controlar o comportamento do arduino, usamos sempre a função delay.
• O problema disto é que o arduino para todas as outras atividades (como comunicação, ler os valores dos pinos,...) enquanto o delay não for executado totalmente.
• Como contornar este problema?
• Usando um relógio, para saber se já é hora de o arduino executar alguma tarefa, ou não.

Blink without delay

• Abrir o exemplo 02.Digital/BlinkWithoutDelay

const int ledPin =  LED_BUILTIN;
int ledState = LOW;
unsigned long previousMillis = 0; // Ultima vez que o millis foi chamado
const long interval = 1000;       // Intervalo para piscar o LED

void setup() {pinMode(ledPin, OUTPUT);}

void loop() {
  unsigned long currentMillis = millis();
  if (currentMillis - previousMillis >= interval) {
    previousMillis = currentMillis; // Ultima vez que o led piscou
    if (ledState == LOW) {
      ledState = HIGH;
    } else {
      ledState = LOW;
    }
    digitalWrite(ledPin, ledState);
  }
}

Exercícios

Carga e descarga de um capacitor

1. Faça um programa que carrega e descarrega um capacitor, conforme o circuito acima. Escolha valores de R e C tal que o tempo característico de carregamento seja longo o suficiente para ser medido (vários ms). Detalhe importante: Para que o capacitor possa ser carregado e descarregado corretamente, é fundamental que o pino de descarregamento esteja como pinMode(pin, INPUT) durante a etapa de carregamento. Caso esteja como OUTPUT, funcionará como uma fonte de tensão de 0V, ou 5V, enquanto que no modo INPUT não passa corrente pelo pino.
2. Meça o tempo $T$ para que o capacitor carregue 63.2% de sua carga total. (Sugestão: usar a função ou ).
3. Calcule a capacitância, usando que no tempo $T=RC$ o capacitor atinge $1-e^{-1}=63.2\%$ da tensão máxima.
4. Uma vez que o tempo de carga depende do valor de $R$, use diferentes pinos e resistências para controlar o tempo de carga do capacitor. Lembre-se sempre de comparar o valor medido com a especificação, ou uma medida complementar dos componentes usando um multímetro.

Usando um circuito RC para tomar médias

• Um dos aspectos mais interessantes em compreender o aspecto dinâmico dos circuitos é que podemos modificar o comportamento do sistema, e podemos realizar operações mais complexas nos circuitos.
• Por exemplo, o fato de um circuito RC responder mais lentamente do que um sinal de tensão aplicado, indica que podemos usar o circuito RC para tomar médias.
• Isto pode ser aplicado, por exemplo, para converter o sinal PWM (onda quadrada) do analogWrite em uma tensão mais suave
• Veremos isto mais abaixo

Breve descrição matemática

• Sabemos que a tensão no capacitor varia como
• $v = v_0 e^{-t/RC}$, caso a tensão aplicada seja nula, e
• $v = V_S \left(1- e^{-t/RC}\right)$ quando se aplica uma tensão $V_S$ e o capacitor está descarregado.
• O que ocorre quando aplicamos um sinal tipo onda quadrada?
• Onda de amplitude $V_S$, ligada por um tempo $T_1$ e período $T$.

Carregamento do capacitor

• Onda de amplitude $V_S$, ligada por um tempo $T_1$ e período $T$.
• Como a onda está sempre presente, podemos ter uma certa carga média presente no capacitor
• Supomos então que, quando a tensão é $V_S$, a tensão no capacitor é
• $v(t<T_1) = V_S \left(1- e^{-t/RC}\right) + v_0 e^{-t/RC}$

Descarregamento do capacitor

• Entre os tempos $T_1$ e $T$, não há tensão aplicada e o capacitor descarregará
• Notem então que $v(T_1) = V_S \left(1- e^{-T_1/RC}\right) + v_0 e^{-T_1/RC}$
• $v(t>T_1) = \left[V_S \left(1- e^{-T_1/RC}\right) + v_0 e^{-T_1/RC}\right]e^{-(t-T_1)/RC}$
• $v(T) = \left[V_S \left(1- e^{-T_1/RC}\right) + v_0 e^{-T_1/RC}\right]e^{-(T-T_1)/RC}$

Condição de periodicidade

• Supondo que a onda está ligada por muito tempo, a resposta do capacitor deve possuir a mesma periodicidade da onda quadrada.
• Então, $v(T)=v(0)=v_0$, e
• $v_0 = \left[V_S \left(1- e^{-T_1/RC}\right) + v_0 e^{-T_1/RC}\right]e^{-(T-T_1)/RC}$
• Rearranjando, obtemos $v_0 = V_S \frac{e^{T_1/RC}-1}{e^{T/RC}-1}.$
• Se utilizarmos que para $x\ll 1$ vale $e^x\approx 1 + x$, temos que quando $T_1<T\ll RC$
• $v_0 = V_S \frac{T_1}{T}.$

O que acontece com a tensão no capacitor?

• $v_0 = V_S \frac{T_1}{T}$ é de certa forma uma tensão média (existe outra maneira mais rigorosa para definir a média)
• No entanto, a tensão no capacitor não é constante. Qual a maior variação na tensão do capacitor?
• $v(T_1) - v_0 = \Delta v = V_S \left(1- e^{-T_1/RC}\right) - v_0 (1-e^{-T_1/RC})$
• $\Delta v = V_S \left(1- e^{-T_1/RC}\right) \left(1-\frac{e^{T_1/RC}-1}{e^{T/RC}-1}\right)$
• Se $T_1<T\ll RC$ podemos aproximar as exponenciais novamente como $e^x\approx 1 + x$, e $$\Delta v = V_S \frac{T}{RC}\frac{T_1}{T}\left(1-\frac{T_1}{T}\right)$$

Variação na tensão

• $\Delta v = V_S \frac{T}{RC}\frac{T_1}{T}\left(1-\frac{T_1}{T}\right)$
• Quando a variação é nula?
• Quando a variação é máxima?
• Então, no pior cenário, temos que a tensão varia por $\Delta v_{max} = V_S \frac{T}{4RC}$. Se $T\ll RC$, estas flutuações podem se tornar bastante pequenas.
• $\Delta v_{max}$ indica a incerteza com que conseguimos tomar a média usando o circuito RC.

Exercícios

1. Usando a saída analógica e um filtro RC passa baixa, façam um conversor digital analógico (DAC) para o arduino. Como fica a tensão num osciloscópio? Sugestão: utilize a função analogWrite e teste pares onde $RC=[1$ s, $100$ ms, $10$ ms, $1$ ms, 100 $\mu$s]. O que acontece com $\Delta v_{max}$ quando $RC$ varia?
2. Façam com que o sinal devido a média realizada pelo circuito RC produza uma onda triangular.
3. Usando a mesma ideia que no caso anterior, façam um gerador de onda senoidal onde você possa controlar a frequência. Qual a maior frequência que o seu circuito consegue atingir?

Frequências de um sinal

• No encontro anterior, montamos um filtro RC que permitia obter uma média de um sinal. Tomando a média de uma onda quadrada pudemos gerar uma tensão variável em um osciloscópio com vários formatos (onda triangular, senoidal, função constante).
• A grande pergunta neste caso é: quais são as frequências que compõem um dado sinal?
• Vamos supor que o sinal de interesse é periódico, e possui período $T$.
• Sabemos então que $v(t)=v(t+T)=v(t+2T)=v(t+3T)\dots$ Após passado um múltiplo inteiro de intervalos de tempo $T$, o sinal se repete.
• (Detalhe: a análise que faremos a seguir é válida pra "quase tudo" em física! Por razões óbvias, aqui focaremos em eletrônica)

Sinal de período $T$

• Sabemos que $v(t)=v(t+T)=v(t+2T)=v(t+3T)\dots$
• Que tipo de função matemática seria adequada para representar $v(t)$?
• Precisamos de uma função que seja periódica, e tenha período $T$...
• Podemos pensar em usar senos e cossenos!
• Mas podemos representar $v(t)$ em termos de senos e cossenos?

A onda quadrada

• Vamos supor por simplicidade uma onda quadrada de período $T=1$, e que possui um ciclo de trabalho $T_{ligado}/T = 50\%$
• Seno e cosseno de mesmo período: $\sin(\frac{2\pi}{T} t)$ e $\cos(\frac{2\pi}{T} t)$

• 
• A função seno "lembra mais" a onda quadrada ao longo do tempo, mas claramente não descreve bem a onda quadrada perto de $t=0$. Pode-se fazer algo a respeito?

Melhorando a aproximação da onda quadrada

• Vimos que $\sin(\frac{2\pi}{T} t)$ tem o mesmo período que a onda quadrada, e representa aproximadamente a onda quadrada.
• Vamos mexer um pouco na função seno para melhorar um pouco a aproximação. Podemos diminuir a amplitude do sinal e deslocar o seno para cima por $1/2$

• 
• Notem que depois dos ajustes, temos que $\frac{1}{2}\sin(2\pi t)+\frac{1}{2}$ possui um termo de frequência $0$, e outro que possui um período $T=1 s$.

Melhorando a aproximação da onda quadrada

• Usando as funções seno e cosseno de mesmo período da onda quadrada, $\sin(\frac{2\pi}{T} t)$ e $\cos(\frac{2\pi}{T} t)$, modificar a amplitude da oscilação do seno, e adicionar um termo de frequência (período) diferente, melhoramos a aproximação.
• $\frac{1}{2}\sin(2\pi t)+\frac{1}{2}$ aproxima uma onda quadrada de período $T$.
• A condição mais importante para um sinal periódico de período $T$, é que ele satisfaça $v(t)=v(t+T)=v(t+2T)=v(t+3T)\dots$
• $\sin(\frac{2\pi}{T} t)$ e $\cos(\frac{2\pi}{T} t)$ constituem todas as funções que satisfazem a condição de periodicidade do sinal? Caso haja outras funções, a aproximação pode melhorar...

Melhorando a aproximação da onda quadrada

• Se o seno (ou cosseno) possuir um período menor que $T$, também é possível satisfazer a condição de periodicidade $v(t)=v(t+T)=v(t+2T)=v(t+3T)\dots$
• Notar que após o nosso período completo, $\sin(\frac{2\pi}{T} T) = \sin(\frac{4\pi}{T} T) = \sin(\frac{6\pi}{T} T)\dots=0$
• Podemos usar sinais periódicos cujas frequências são $$\omega_k = k \frac{2\pi}{T}\qquad(k\in \mathbb{N}).$$ Quanto mais frequências usarmos, melhor ficará a nossa aproximação.
• Os termos que oscilam com uma frequência maior que $\frac{2\pi}{T}$ são denominadas de harmônicos.

A série de Fourier de uma onda quadrada

• A série de Fourier é representa uma aproximação de um sinal $v(t)$ de período $T$ como uma soma de sinais em diferentes frequências
• $v(t) = \sum_{k=0}^{\infty}\left[a_k \sin(\frac{2\pi k}{T} t) + b_k \cos(\frac{2\pi k}{T} t)\right]$
• $a_k$ e $b_k$ são coeficientes que indicam "quanto" de cada frequência está presente num sinal, bem como a fase relativa de cada frequência.

• Para a onda quadrada, temos $v(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin(2 \pi (2k-1) t)}{2k-1}$ (Ver próximo slide para detalhes)

• 

  Aproximando a onda quadrada por sua série de Fourier

Cálculo dos coeficientes de Fourier $a_k$ e $b_k$

• Para encontrar os coeficientes, vamos usar que $v(t)$ é conhecido (1, se 0<t<1/2, e 0, se 1/2<t<1), e da propriedade de ortogonalidade entre funções trigonométricas $$\int_0^1\sin(2\pi mx)\sin(2\pi nx) dx = \int_0^1\sin(2\pi mx)\cos(2\pi nx) dx = 0\text{, se }n\neq m$$ $$\int_0^1\sin^2(2\pi nx) dx = \int_0^1\cos^2(2\pi nx) = \frac{1}{2} dx$$ (Lembrar de cálculo 1!)
• Supondo que é possível realizar a aproximação $$v(t) = \sum_{k=0}^{\infty}\left[a_k \sin(2\pi k t) + b_k \cos(2\pi k t)\right]$$ , podemos multiplicar a equação em ambos os lados por $\sin(2\pi nx)$ e integrar $t$ entre 0 e 1.
• $\int_0^1 \sin(2\pi n t) v(t) dt = \int_0^1 \sin(2\pi nt) dt \sum_{k=0}^{\infty}\left[a_k \sin(2\pi k t) + b_k \cos(2\pi k t)\right]$
• $\int_0^1 \sin(2\pi n t) v(t) = \sum_{k=0}^{\infty}\left[a_k \int_0^1 \sin(2\pi nt)\sin(2\pi k t)dt + b_k \int_0^1 \sin(2\pi nt)\cos(2\pi k t)dt\right]$
• As integrais envolvendo seno e cosseno são sempre nulas. Já aquelas com produtos entre senos serão todas nulas, exceto para o termo onde $k=n$.
• $\int_0^1 \sin(2\pi n t) v(t) dt = \frac{a_n}{2}$
• Como $v(t)=1$ apenas quando, 0<t<1/2, $\int_0^1 \sin(2\pi nx) v(t) dt = \int_0^{1/2} \sin(2\pi nt) dt = \frac{-1}{2\pi n}\left[\cos(\pi n) - \cos(0)\right]$
• $\cos(0)=1$, enquanto $\cos(\pi n) = (-1)^n$. Daí, $a_n\neq0$ apenas se $n$ é ímpar, ou $n=2k-1$, com $k\in \mathbb{N}$
• $a_{2k-1} = \frac{2}{\pi (2k-1)}$. Verifiquem que de fato $b_n = 0$ para $n\neq 0$, e que $b_0=\frac{1}{2}.$

Frequências da onda quadrada

• Qual a potência do sinal que temos em cada frequência $\omega_k$?
• Lembrando que $v(t) = \sum_{k=0}^{\infty}\left[a_k \sin(\frac{2\pi}{T} t) + b_k \cos(\frac{2\pi}{T} t)\right]$, e $P = \frac{V^2}{R}$, podemos associar $a_k^2$ e $b_k^2$ com a potência média do sinal associado a cada frequência

• 
• Para a maioria das frequências, o sinal não possui qualquer potência. O sinal está distribuído apenas sobre as frequências $\omega_k = 2\pi(2k-1)$.

Biblioteca tone

• Para gerar sinais com uma frequência bem determinada, o conjunto de funções tone() é bastante útil. Estas funções já estão automaticamente implementadas no arduino.
• Sintaxe: tone(pin, frequency), ou tone(pin, frequency, duration)
• pin: pino utilizado para a saída do sinal de frequência determinada
• frequency: frequência (>31Hz)
• duration(opcional): duração do tempo que a frequência será enviada
• noTone(pin) desativa a geração do sinal
• Ver exemplo em Exemplos\02.Digital\toneKeyboard

Exercicio

1. Pensando em um circuito RC como um divisor de tensão, determine como a resistência efetiva do capacitor varia em função da frequência e da capacitância. Teste capacitores de construção diferente (cerâmico, eletrolítico, polímero, nylon...) e com várias constantes de tempo RC.
2. Gere um sinal de frequência conhecida e, com a ajuda do professor, veja o espectro de frequências no osciloscópio.
3. O que acontece com o espectro de frequências do sinal no osciloscópio quando você
   1. Mede o espectro de potência entre o capacitor e o terra.
   2. Inverte o capacitor e o resistor no circuito e mede o espectro de potência entre o resistor e o terra.